हमारे ब्रह्मांड का सपाट, गोलाकार या अतिपरवलयिक आकार?

2024 लेखक: Seth Attwood | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-16 16:05

हमारी दृष्टि में ब्रह्मांड अनंत है। आज हम जानते हैं कि पृथ्वी एक गोले के आकार की है, लेकिन हम शायद ही कभी ब्रह्मांड के आकार के बारे में सोचते हैं। ज्यामिति में, "परिचित" अनंत स्थान के विकल्प के रूप में कई त्रि-आयामी आकार होते हैं। लेखक सबसे सुलभ रूप में अंतर की व्याख्या करते हैं।

रात के आकाश को देखकर ऐसा लगता है कि अंतरिक्ष सभी दिशाओं में हमेशा के लिए चला जाता है। इस तरह हम ब्रह्मांड की कल्पना करते हैं - लेकिन यह सच नहीं है कि यह सच है। आखिरकार, एक समय था जब हर कोई सोचता था कि पृथ्वी चपटी है: पृथ्वी की सतह की वक्रता अगोचर है, और यह विचार कि पृथ्वी गोल है, समझ से बाहर है।

आज हम जानते हैं कि पृथ्वी एक गोले के आकार की है। लेकिन हम शायद ही कभी ब्रह्मांड के आकार के बारे में सोचते हैं। जैसे ही गोले ने समतल पृथ्वी को बदल दिया, अन्य त्रि-आयामी रूप "परिचित" अनंत स्थान के विकल्प प्रदान करते हैं।

ब्रह्मांड के आकार के बारे में दो प्रश्न पूछे जा सकते हैं - अलग लेकिन परस्पर संबंधित। एक ज्यामिति के बारे में है - कोणों और क्षेत्रों की सावधानीपूर्वक गणना। दूसरा टोपोलॉजी के बारे में है: कैसे अलग-अलग हिस्से एक ही रूप में विलीन हो जाते हैं।

ब्रह्माण्ड संबंधी आंकड़े बताते हैं कि ब्रह्मांड का दृश्य भाग चिकना और सजातीय है। अंतरिक्ष की स्थानीय संरचना लगभग हर बिंदु और हर दिशा में एक जैसी दिखती है। केवल तीन ज्यामितीय आकार इन विशेषताओं के अनुरूप हैं - सपाट, गोलाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण। आइए इन आकृतियों पर बारी-बारी से एक नज़र डालते हैं, ब्रह्माण्ड संबंधी डेटा पर आधारित कुछ टोपोलॉजिकल विचार और निष्कर्ष।

समतल ब्रह्मांड

वास्तव में, यह स्कूल ज्यामिति है। एक त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री तक होता है, और एक वृत्त का क्षेत्रफल πr2 होता है। एक सपाट त्रि-आयामी आकार का सबसे सरल उदाहरण एक साधारण अनंत स्थान है, गणितज्ञ इसे यूक्लिडियन कहते हैं, लेकिन अन्य फ्लैट विकल्प भी हैं।

इन आकृतियों की कल्पना करना आसान नहीं है, लेकिन हम अपने अंतर्ज्ञान को तीन के बजाय दो आयामों में सोचकर जोड़ सकते हैं। सामान्य यूक्लिडियन विमान के अलावा, हम विमान के एक टुकड़े को काटकर और उसके किनारों को चिपकाकर अन्य सपाट आकार बना सकते हैं। मान लीजिए कि हमने कागज के एक आयताकार टुकड़े को काट दिया और इसके विपरीत किनारों को टेप से टेप कर दिया। यदि आप ऊपरी किनारे को नीचे के किनारे से चिपकाते हैं, तो आपको एक सिलेंडर मिलता है।

आप दाएं किनारे को बाईं ओर भी गोंद कर सकते हैं - फिर हमें एक डोनट मिलता है (गणितज्ञ इस आकार को टोरस कहते हैं)।

आपको शायद आपत्ति होगी: "कुछ बहुत सपाट नहीं है।" और आप सही होंगे। हम फ्लैट टोरस के बारे में थोड़ा धोखा दे रहे थे। यदि आप वास्तव में इस तरह से कागज के एक टुकड़े से टोरस बनाने की कोशिश करते हैं, तो आप कुछ कठिनाइयों में पड़ जाएंगे। एक सिलेंडर बनाना आसान है, लेकिन यह इसके सिरों को गोंद करने के लिए काम नहीं करेगा: कागज टोरस के आंतरिक सर्कल के साथ उखड़ जाएगा, लेकिन यह बाहरी सर्कल के लिए पर्याप्त नहीं होगा। तो आपको किसी प्रकार की लोचदार सामग्री लेनी होगी। लेकिन स्ट्रेचिंग से लंबाई और कोण बदल जाते हैं, और इसलिए पूरी ज्यामिति।

ज्यामिति को विकृत किए बिना एक साधारण त्रि-आयामी अंतरिक्ष के अंदर एक सपाट सामग्री से एक वास्तविक चिकनी भौतिक टोरस का निर्माण करना असंभव है। यह एक सपाट टोरस के अंदर रहना कैसा है, इसके बारे में संक्षेप में अनुमान लगाना बाकी है।

कल्पना कीजिए कि आप एक द्वि-आयामी प्राणी हैं जिसका ब्रह्मांड एक सपाट टोरस है। चूंकि इस ब्रह्मांड का आकार कागज की एक सपाट शीट पर आधारित है, इसलिए हम सभी ज्यामितीय तथ्यों का उपयोग एक समान रहने के लिए करते हैं - कम से कम एक सीमित पैमाने पर: एक त्रिभुज के कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं, और इसी तरह। लेकिन ट्रिमिंग और ग्लूइंग के माध्यम से वैश्विक टोपोलॉजी में बदलाव के साथ, जीवन नाटकीय रूप से बदल जाएगा।

आरंभ करने के लिए, टोरस में सीधी रेखाएँ होती हैं जो लूप करती हैं और प्रारंभिक बिंदु पर लौट आती हैं।

एक विकृत टोरस पर, वे घुमावदार दिखते हैं, लेकिन एक फ्लैट टोरस के निवासियों के लिए, वे सीधे लगते हैं। और चूँकि प्रकाश एक सीधी रेखा में गमन करता है, तो यदि आप सीधे किसी भी दिशा में देखेंगे तो आप स्वयं को पीछे से देखेंगे।

यह ऐसा है जैसे, कागज के मूल टुकड़े पर, प्रकाश आपके बीच से गुजरा, बाएं किनारे पर गया, और फिर दाईं ओर फिर से प्रकट हुआ, जैसे वीडियो गेम में।

इसके बारे में सोचने का एक और तरीका है: आप (या प्रकाश की किरण) चार किनारों में से एक को पार करते हैं और अपने आप को एक नए कमरे में पाते हैं, लेकिन वास्तव में यह एक ही कमरा है, केवल एक अलग दृष्टिकोण से। ऐसे ब्रह्मांड में घूमते हुए, आप मूल कमरे की अनगिनत प्रतियों को देखेंगे।

इसका मतलब है कि आप जहां भी देखेंगे, आप अपनी अनंत संख्या में प्रतियां ले लेंगे। यह एक प्रकार का दर्पण प्रभाव है, केवल ये प्रतियां बिल्कुल प्रतिबिंब नहीं हैं।

टोरस पर, उनमें से प्रत्येक एक या दूसरे लूप से मेल खाता है, जिसके साथ प्रकाश आपके पास वापस आ जाता है।

इसी तरह, हमें क्यूब या अन्य बॉक्स के विपरीत चेहरों को चिपकाकर एक फ्लैट त्रि-आयामी टोरस मिलता है। हम इस स्थान को एक साधारण अनंत स्थान के अंदर चित्रित नहीं कर पाएंगे - यह बस फिट नहीं होगा - लेकिन हम इसके अंदर जीवन के बारे में संक्षेप में अनुमान लगाने में सक्षम होंगे।

यदि द्वि-आयामी टोरस में जीवन समान आयताकार कमरों की एक अंतहीन द्वि-आयामी सरणी की तरह है, तो त्रि-आयामी टोरस में जीवन समान घन कक्षों की एक अंतहीन त्रि-आयामी सरणी की तरह है। आप भी अपनी स्वयं की अनंत प्रतियों को देखेंगे।

त्रि-आयामी टोरस परिमित सपाट दुनिया के दस प्रकारों में से केवल एक है। अनंत सपाट दुनिया भी हैं - उदाहरण के लिए, एक अनंत सिलेंडर का त्रि-आयामी एनालॉग। इन दुनियाओं में से प्रत्येक का "प्रतिबिंब" के साथ "हँसी का कमरा" होगा।

क्या हमारा ब्रह्मांड समतल रूपों में से एक हो सकता है?

जब हम अंतरिक्ष में देखते हैं, तो हमें अपनी स्वयं की अनंत प्रतियों की संख्या दिखाई नहीं देती है। बावजूद, सपाट आकृतियों को हटाना आसान नहीं है। सबसे पहले, उन सभी में यूक्लिडियन अंतरिक्ष के समान स्थानीय ज्यामिति है, इसलिए उन्हें स्थानीय माप से अलग करना संभव नहीं होगा।

मान लीजिए कि आपने अपनी प्रति भी देखी है, यह दूर की छवि केवल यह दिखाती है कि आप (या समग्र रूप से आपकी आकाशगंगा) सुदूर अतीत में कैसे दिखते थे, क्योंकि प्रकाश आप तक पहुंचने तक एक लंबा सफर तय कर चुका है। हो सकता है कि हम अपनी प्रतियां भी देखें - लेकिन पहचान से परे बदल गए। इसके अलावा, अलग-अलग प्रतियां आपसे अलग-अलग दूरी पर हैं, इसलिए वे एक जैसी नहीं हैं। और इसके अलावा, इतनी दूर कि हम अभी भी कुछ नहीं देखेंगे।

इन कठिनाइयों को दूर करने के लिए, खगोलविद आमतौर पर स्वयं की प्रतियों की तलाश नहीं करते हैं, लेकिन सबसे दूर दिखाई देने वाली घटना में दोहराए जाने वाले गुणों के लिए - ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण, यह बिग बैंग का अवशेष है। व्यवहार में, इसका अर्थ है गर्म और ठंडे स्थानों के मिलान पैटर्न वाले वृत्तों के जोड़े की तलाश करना - यह माना जाता है कि वे समान हैं, केवल विभिन्न पक्षों से।

2015 में प्लैंक स्पेस टेलीस्कोप की बदौलत खगोलविदों ने ऐसी ही एक खोज की। वे संयोग मंडलियों के प्रकारों पर एक साथ डेटा डालते हैं जो हम एक फ्लैट 3 डी टोरस या अन्य फ्लैट 3 डी आकार के अंदर देखने की उम्मीद करते हैं - एक तथाकथित प्लेट - लेकिन उन्हें कुछ भी नहीं मिला। इसका मतलब यह है कि अगर हम टोरस में रहते हैं, तो यह इतना बड़ा प्रतीत होता है कि कोई भी दोहराए जाने वाले टुकड़े देखने योग्य ब्रह्मांड के बाहर होते हैं।

गोलाकार आकृति

हम द्वि-आयामी गोले से बहुत परिचित हैं - यह एक गेंद, एक नारंगी या पृथ्वी की सतह है। लेकिन क्या होगा अगर हमारा ब्रह्मांड त्रि-आयामी क्षेत्र है?

त्रि-आयामी क्षेत्र बनाना मुश्किल है, लेकिन एक साधारण सादृश्य के साथ इसका वर्णन करना आसान है। यदि एक द्वि-आयामी क्षेत्र सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कुछ केंद्रीय बिंदु से एक निश्चित दूरी पर सभी बिंदुओं का संग्रह है, तो त्रि-आयामी क्षेत्र (या "त्रिमंडल") एक निश्चित दूरी पर सभी बिंदुओं का एक संग्रह है। चार आयामी अंतरिक्ष में केंद्रीय बिंदु।

एक त्रिभुज के अंदर का जीवन समतल स्थान के जीवन से बहुत अलग है। इसकी कल्पना करने के लिए, कल्पना करें कि आप द्वि-आयामी क्षेत्र में एक द्वि-आयामी प्राणी हैं। द्वि-आयामी क्षेत्र संपूर्ण ब्रह्मांड है, इसलिए आप अपने आस-पास के त्रि-आयामी अंतरिक्ष को नहीं देख सकते हैं और इसमें प्रवेश नहीं कर सकते हैं। इस गोलाकार ब्रह्मांड में, प्रकाश सबसे छोटे रास्ते से चलता है: बड़े वृत्तों में। लेकिन ये वृत्त आपको सीधे लगते हैं।

अब कल्पना करें कि आप और आपका 2D दोस्त उत्तरी ध्रुव पर घूम रहे हैं, और वह टहलने गए। दूर जाने पर, पहले तो यह आपके दृश्य चक्र में धीरे-धीरे कम हो जाएगा - जैसा कि सामान्य दुनिया में होता है, हालांकि उतनी जल्दी नहीं जितनी जल्दी हम अभ्यस्त हो जाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि जैसे-जैसे आपका दृश्य चक्र बढ़ता है, आपका मित्र इसे कम और कम लेता है।

लेकिन जैसे ही आपका मित्र भूमध्य रेखा को पार करता है, कुछ अजीब होता है: वह आकार में बढ़ने लगता है, हालांकि वास्तव में वह दूर जाना जारी रखता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि आपके दृश्य मंडली में उनका प्रतिशत बढ़ रहा है।

दक्षिणी ध्रुव से तीन मीटर की दूरी पर आपका दोस्त ऐसा दिखेगा जैसे वह आपसे तीन मीटर दूर खड़ा हो।

दक्षिणी ध्रुव पर पहुंचकर, यह आपके पूरे दृश्यमान क्षितिज को पूरी तरह से भर देगा।

और जब दक्षिणी ध्रुव पर कोई नहीं है, तो आपका दृश्य क्षितिज और भी अजनबी होगा - यह आप हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि आप जो प्रकाश उत्सर्जित करते हैं वह पूरे गोले में तब तक फैलेगा जब तक वह वापस नहीं आ जाता।

यह सीधे 3D दायरे में जीवन को प्रभावित करता है। त्रिमंडल के प्रत्येक बिंदु का एक विपरीत होता है, और यदि वहां कोई वस्तु है, तो हम उसे पूरे आकाश में देखेंगे। अगर वहाँ कुछ भी नहीं है, तो हम खुद को पृष्ठभूमि में देखेंगे - जैसे कि हमारी उपस्थिति एक गुब्बारे पर आरोपित थी, फिर अंदर बाहर निकल गई और पूरे क्षितिज को फुला दिया।

लेकिन भले ही ट्राइस्फीयर गोलाकार ज्यामिति का मूलभूत मॉडल है, लेकिन यह एकमात्र संभावित स्थान से बहुत दूर है। जैसा कि हमने यूक्लिडियन स्पेस के टुकड़ों को काटकर और चिपकाकर अलग-अलग फ्लैट मॉडल बनाए हैं, इसलिए हम ट्राइस्फीयर के उपयुक्त टुकड़ों को चिपकाकर गोलाकार बना सकते हैं। इनमें से प्रत्येक चिपके हुए आकार, टोरस की तरह, "हँसी के कमरे" का प्रभाव होगा, केवल गोलाकार आकार में कमरों की संख्या सीमित होगी।

क्या होगा अगर हमारा ब्रह्मांड गोलाकार है?

यहां तक कि हममें से सबसे संकीर्णतावादी भी खुद को रात के आसमान की बजाय पृष्ठभूमि के रूप में नहीं देखते हैं। लेकिन, जैसा कि एक फ्लैट टोरस के मामले में होता है, इस तथ्य का कि हम कुछ नहीं देखते हैं, इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि यह अस्तित्व में नहीं है। गोलाकार ब्रह्मांड की सीमाएं दृश्यमान दुनिया की सीमाओं से बड़ी हो सकती हैं, और पृष्ठभूमि बस दिखाई नहीं दे रही है।

लेकिन टोरस के विपरीत, स्थानीय माप का उपयोग करके एक गोलाकार ब्रह्मांड का पता लगाया जा सकता है। गोलाकार आकृतियाँ न केवल वैश्विक टोपोलॉजी में, बल्कि छोटी ज्यामिति में भी अनंत यूक्लिडियन अंतरिक्ष से भिन्न होती हैं। उदाहरण के लिए, चूँकि गोलाकार ज्यामिति में सीधी रेखाएँ बड़े वृत्त होते हैं, वहाँ के त्रिभुज यूक्लिडियन की तुलना में "मोटा" होते हैं, और उनके कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होता है।

मूल रूप से, ब्रह्मांडीय त्रिभुजों को मापना यह जांचने का मुख्य तरीका है कि ब्रह्मांड कितना घुमावदार है। ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि पर प्रत्येक गर्म या ठंडे स्थान के लिए, इसका व्यास और पृथ्वी से दूरी, त्रिकोण के तीन पक्षों को बनाने के लिए जाना जाता है। हम रात के आकाश में स्पॉट द्वारा बनाए गए कोण को माप सकते हैं - और यह त्रिभुज के कोनों में से एक होगा। फिर हम जांच सकते हैं कि क्या भुजाओं की लंबाई और कोणों का योग तलीय, गोलाकार या अतिपरवलयिक ज्यामिति (जहां त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से कम है) से मेल खाता है।

इन गणनाओं में से अधिकांश, वक्रता के अन्य मापों के साथ, यह मानती हैं कि ब्रह्मांड या तो पूरी तरह से सपाट है या इसके बहुत करीब है। एक शोध दल ने हाल ही में सुझाव दिया था कि प्लैंक स्पेस टेलीस्कोप के 2018 के कुछ डेटा गोलाकार ब्रह्मांड के पक्ष में अधिक बोलते हैं, हालांकि अन्य शोधकर्ताओं ने तर्क दिया कि प्रस्तुत साक्ष्य सांख्यिकीय त्रुटि के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

अतिपरवलयिक ज्यामिति

एक गोले के विपरीत, जो अपने आप बंद हो जाता है, अतिपरवलयिक ज्यामिति या ऋणात्मक वक्रता वाला स्थान बाहर की ओर खुलता है। यह चौड़ी-चौड़ी टोपी, मूंगा चट्टान और काठी की ज्यामिति है। हाइपरबोलिक ज्यामिति का मूल मॉडल फ्लैट यूक्लिडियन की तरह ही अनंत स्थान है। लेकिन चूंकि एक अतिपरवलयिक आकार एक फ्लैट की तुलना में बहुत तेजी से बाहर की ओर फैलता है, अगर हम इसकी ज्यामिति को विकृत नहीं करना चाहते हैं, तो साधारण यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अंदर एक द्वि-आयामी अतिपरवलयिक विमान को फिट करने का कोई तरीका नहीं है। लेकिन हाइपरबोलिक प्लेन की एक विकृत छवि है जिसे पोंकारे डिस्क के रूप में जाना जाता है।

हमारे दृष्टिकोण से, सीमा वृत्त के पास के त्रिभुज केंद्र के निकट के त्रिभुजों की तुलना में बहुत छोटे लगते हैं, लेकिन अतिपरवलयिक ज्यामिति की दृष्टि से सभी त्रिभुज समान होते हैं। अगर हम इन त्रिकोणों को वास्तव में एक ही आकार में चित्रित करने की कोशिश करते हैं - शायद लोचदार सामग्री का उपयोग करके और प्रत्येक त्रिकोण को बारी-बारी से फुलाते हुए, केंद्र से बाहर की ओर बढ़ते हुए - हमारी डिस्क एक चौड़ी-चौड़ी टोपी के समान होगी और अधिक से अधिक झुकेगी। और जैसे-जैसे आप सीमा के करीब पहुंचेंगे, यह वक्रता नियंत्रण से बाहर हो जाएगी।

साधारण यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक वृत्त की परिधि उसकी त्रिज्या के सीधे समानुपाती होती है, लेकिन अतिपरवलयिक ज्यामिति में, वृत्त त्रिज्या के सापेक्ष तेजी से बढ़ता है। अतिपरवलयिक डिस्क की सीमा के निकट त्रिभुजों का ढेर बनता है

इस विशेषता के कारण, गणितज्ञ यह कहना पसंद करते हैं कि अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में खो जाना आसान है। यदि आपका मित्र सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आपसे दूर चला जाता है, तो वह दूर जाना शुरू कर देगा, बल्कि धीरे-धीरे, क्योंकि आपका दृश्य चक्र इतनी जल्दी नहीं बढ़ता है। अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में, आपका दृश्य चक्र तेजी से फैलता है, इसलिए आपका मित्र जल्द ही एक असीम रूप से छोटे धब्बे में सिकुड़ जाएगा। इसलिए, यदि आपने उसके मार्ग का अनुसरण नहीं किया है, तो आपको बाद में उसके मिलने की संभावना नहीं है।

अतिपरवलयिक ज्यामिति में भी, त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से कम होता है - उदाहरण के लिए, पोंकारे डिस्क मोज़ेक से कुछ त्रिभुजों के कोणों का योग केवल 165 डिग्री होता है।

उनके पक्ष अप्रत्यक्ष प्रतीत होते हैं, लेकिन ऐसा इसलिए है क्योंकि हम हाइपरबोलिक ज्यामिति को एक विकृत लेंस के माध्यम से देख रहे हैं। पोंकारे डिस्क के निवासियों के लिए, ये वक्र वास्तव में सीधी रेखाएं हैं, इसलिए बिंदु ए से बिंदु बी (दोनों किनारों पर) तक पहुंचने का सबसे तेज़ तरीका केंद्र में कटौती के माध्यम से होता है।

पोंकारे डिस्क का त्रि-आयामी एनालॉग बनाने का एक प्राकृतिक तरीका है - एक त्रि-आयामी गेंद लें और इसे तीन-आयामी आकृतियों से भरें, जो धीरे-धीरे कम हो जाती हैं क्योंकि वे पोंकारे डिस्क पर त्रिकोण की तरह सीमा क्षेत्र में पहुंचते हैं। और, जैसा कि विमानों और गोले के साथ होता है, हम त्रि-आयामी अतिपरवलयिक गेंद के उपयुक्त टुकड़ों को काटकर और उसके चेहरों को चिपकाकर अन्य त्रि-आयामी अतिपरवलयिक रिक्त स्थान की एक पूरी मेज़बानी बना सकते हैं।

अच्छा, क्या हमारा ब्रह्मांड अतिशयोक्तिपूर्ण है?

हाइपरबोलिक ज्यामिति, अपने संकीर्ण त्रिभुजों और घातीय रूप से बढ़ते हुए वृत्तों के साथ, हमारे आस-पास के स्थान की तरह बिल्कुल भी नहीं है। वास्तव में, जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, अधिकांश ब्रह्माण्ड संबंधी माप एक समतल ब्रह्मांड की ओर झुकते हैं।

लेकिन हम इस बात से इंकार नहीं कर सकते कि हम एक गोलाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण दुनिया में रहते हैं, क्योंकि दोनों दुनिया के छोटे टुकड़े लगभग सपाट दिखते हैं। उदाहरण के लिए, गोलाकार ज्यामिति में छोटे त्रिभुजों के कोणों का योग केवल 180 डिग्री से थोड़ा अधिक होता है, और अतिपरवलयिक ज्यामिति में यह केवल थोड़ा कम होता है।

इसलिए पूर्वजों ने सोचा कि पृथ्वी चपटी है - पृथ्वी की वक्रता नग्न आंखों से दिखाई नहीं देती है। गोलाकार या अतिपरवलयिक आकार जितना बड़ा होता है, उसके प्रत्येक भाग की चापलूसी होती है, इसलिए, यदि हमारे ब्रह्मांड का आकार बहुत बड़ा गोलाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण है, तो इसका दृश्य भाग समतल के इतना करीब है कि इसकी वक्रता का पता केवल अति-सटीक उपकरणों से लगाया जा सकता है, और हमने अभी तक उनका आविष्कार नहीं किया है। …