भग्न क्या हैं: गणित और अनंत की सुंदरता

2024 लेखक: Seth Attwood | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-16 16:05

भग्न एक सदी के लिए जाने जाते हैं, अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है और जीवन में कई अनुप्रयोग हैं। हालांकि, यह घटना एक बहुत ही सरल विचार पर आधारित है: आकार की एक भीड़, सुंदरता और विविधता में अनंत, केवल दो कार्यों - नकल और स्केलिंग का उपयोग करके अपेक्षाकृत सरल संरचनाओं से प्राप्त की जा सकती है।

हमारे हाथ में एक पेड़, समुद्र के किनारे, बादल या रक्त वाहिकाओं में क्या समानता है? पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि इन सभी वस्तुओं में कुछ भी सामान्य नहीं है। हालांकि, वास्तव में, सभी सूचीबद्ध वस्तुओं में निहित संरचना की एक संपत्ति है: वे स्व-समान हैं। शाखा से, साथ ही पेड़ के तने से, छोटी शाखाएँ होती हैं, उनसे - छोटी भी, आदि, अर्थात् शाखा पूरे पेड़ की तरह होती है।

संचार प्रणाली को एक समान तरीके से व्यवस्थित किया जाता है: धमनी धमनियों से निकलती है, और उनसे - सबसे छोटी केशिकाएं जिसके माध्यम से ऑक्सीजन अंगों और ऊतकों में प्रवेश करती है। आइए समुद्री तट की उपग्रह छवियों को देखें: हम खाड़ी और प्रायद्वीप देखेंगे; आइए इसे देखें, लेकिन एक विहंगम दृष्टि से: हम बे और केप देखेंगे; अब आइए कल्पना करें कि हम समुद्र तट पर खड़े हैं और अपने पैरों को देख रहे हैं: हमेशा कंकड़ होते हैं जो बाकी की तुलना में पानी में फैल जाते हैं।

यानी जूम इन करने पर समुद्र तट अपने आप जैसा ही रहता है। अमेरिकी (हालांकि फ्रांस में पले-बढ़े) गणितज्ञ बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने वस्तुओं की इस संपत्ति को फ्रैक्टलिटी कहा, और ऐसी वस्तुओं को स्वयं - फ्रैक्टल (लैटिन फ्रैक्टस से - टूटा हुआ)।

एक भग्न क्या है?

इस अवधारणा की कोई सख्त परिभाषा नहीं है। इसलिए, "फ्रैक्टल" शब्द गणितीय शब्द नहीं है। आमतौर पर, एक फ्रैक्टल एक ज्यामितीय आकृति होती है जो निम्नलिखित में से एक या अधिक गुणों को संतुष्ट करती है: • इसकी किसी भी आवर्धन पर एक जटिल संरचना होती है (उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा के विपरीत, जिसका कोई भी भाग सबसे सरल ज्यामितीय आकृति है - a रेखा खंड)। • (लगभग) स्व-समान है। • एक भिन्नात्मक हॉसडॉर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है, जो टोपोलॉजिकल से बड़ा है। • पुनरावर्ती प्रक्रियाओं के साथ बनाया जा सकता है।

ज्यामिति और बीजगणित

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर भग्न का अध्ययन व्यवस्थित के बजाय प्रासंगिक था, क्योंकि पहले के गणितज्ञों ने मुख्य रूप से "अच्छी" वस्तुओं का अध्ययन किया था जो सामान्य तरीकों और सिद्धांतों का उपयोग करके शोध करने योग्य थे। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रास ने एक सतत फलन का एक उदाहरण तैयार किया जो कहीं भी अवकलनीय नहीं है। हालांकि, इसका निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल था।

इसलिए, 1904 में, स्वेड हेल्ज वॉन कोच ने एक निरंतर वक्र का आविष्कार किया, जिसकी कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है, और इसे खींचना काफी सरल है। यह पता चला कि इसमें फ्रैक्टल के गुण हैं। इस वक्र के रूपों में से एक को "कोच स्नोफ्लेक" कहा जाता है।

आंकड़ों की आत्म-समानता के विचारों को फ्रांसीसी पॉल पियरे लेवी, बेनोइट मंडेलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक द्वारा उठाया गया था। 1938 में, उन्होंने अपना लेख "प्लेन एंड स्पेशियल कर्व्स एंड सरफेस, जिसमें पूरे के समान हिस्से शामिल हैं" प्रकाशित किया, जो एक और फ्रैक्टल - लेवी सी-वक्र का वर्णन करता है। इन सभी उपरोक्त भग्नों को सशर्त रूप से रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न के एक वर्ग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एक अन्य वर्ग गतिशील (बीजीय) भग्न है, जिसमें मैंडेलब्रॉट सेट शामिल है। इस दिशा में पहला अध्ययन 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में शुरू हुआ और फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया और पियरे फतो के नामों से जुड़ा है।1918 में, जूलिया का लगभग दो सौ पृष्ठ का संस्मरण, जटिल तर्कसंगत कार्यों के पुनरावृत्तियों के लिए समर्पित, प्रकाशित किया गया था, जिसमें जूलिया के सेटों का वर्णन किया गया था - फ्रैक्टल का एक पूरा परिवार जो मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित था। इस काम को फ्रांसीसी अकादमी के पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन इसमें एक भी चित्रण नहीं था, इसलिए खोजी गई वस्तुओं की सुंदरता की सराहना करना असंभव था।

इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने उस समय के गणितज्ञों के बीच जूलिया को गौरवान्वित किया, इसे जल्दी से भुला दिया गया। आधी सदी बाद तक कंप्यूटर फिर से ध्यान में नहीं आया: यह वे थे जिन्होंने भग्न की दुनिया की संपत्ति और सुंदरता को दृश्यमान बनाया।

भग्न आयाम

जैसा कि आप जानते हैं, एक ज्यामितीय आकृति का आयाम (मापों की संख्या) इस आकृति पर स्थित एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए आवश्यक निर्देशांक की संख्या है।

उदाहरण के लिए, एक वक्र पर एक बिंदु की स्थिति एक निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है, एक सतह पर (जरूरी नहीं कि एक विमान हो) दो निर्देशांक द्वारा, तीन-आयामी अंतरिक्ष में तीन निर्देशांक द्वारा।

अधिक सामान्य गणितीय दृष्टिकोण से, आप इस तरह से आयाम को परिभाषित कर सकते हैं: रैखिक आयामों में वृद्धि, दो बार, एक-आयामी (एक स्थलीय दृष्टिकोण से) वस्तुओं (खंड) के लिए आकार में वृद्धि की ओर जाता है (लंबाई) दो बार, द्वि-आयामी (वर्ग) के लिए रैखिक आयामों में समान वृद्धि से आकार (क्षेत्र) में 4 गुना वृद्धि होती है, त्रि-आयामी (घन) के लिए - 8 गुना। यही है, "वास्तविक" (तथाकथित हॉसडॉर्फ) आयाम की गणना किसी वस्तु के "आकार" में वृद्धि के लघुगणक के अनुपात के रूप में की जा सकती है, जो कि इसके रैखिक आकार में वृद्धि के लघुगणक से होती है। यानी खंड डी = लॉग (2) / लॉग (2) = 1 के लिए, विमान डी = लॉग (4) / लॉग (2) = 2 के लिए, वॉल्यूम डी = लॉग (8) / लॉग (2 के लिए)) = 3.

आइए अब कोच वक्र के आयाम की गणना करें, जिसके निर्माण के लिए इकाई खंड को तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और मध्य अंतराल को इस खंड के बिना एक समबाहु त्रिभुज द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। न्यूनतम खंड के रैखिक आयामों में तीन गुना वृद्धि के साथ, लॉग (4) / लॉग (3) ~ 1, 26 में कोच वक्र की लंबाई बढ़ जाती है। यानी कोच वक्र का आयाम भिन्न होता है!

विज्ञान और कला

1982 में, मैंडलब्रॉट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" प्रकाशित हुई, जिसमें लेखक ने फ्रैक्टल्स के बारे में उस समय उपलब्ध लगभग सभी सूचनाओं को एकत्र और व्यवस्थित किया और इसे आसान और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया। अपनी प्रस्तुति में, मंडेलब्रॉट ने बोझिल सूत्रों और गणितीय निर्माणों पर नहीं, बल्कि पाठकों के ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर मुख्य जोर दिया। कंप्यूटर जनित दृष्टांतों और ऐतिहासिक कहानियों के लिए धन्यवाद, जिसके साथ लेखक ने मोनोग्राफ के वैज्ञानिक घटक को कुशलता से पतला किया, पुस्तक बेस्टसेलर बन गई, और फ्रैक्टल आम जनता के लिए जाने गए।

गैर-गणितज्ञों के बीच उनकी सफलता काफी हद तक इस तथ्य के कारण है कि बहुत ही सरल निर्माण और सूत्रों की मदद से जो एक हाई स्कूल का छात्र समझ सकता है, अद्भुत जटिलता और सुंदरता की छवियां प्राप्त की जाती हैं। जब पर्सनल कंप्यूटर पर्याप्त शक्तिशाली हो गए, तो कला में भी एक पूरी प्रवृत्ति दिखाई दी - फ्रैक्टल पेंटिंग, और लगभग कोई भी कंप्यूटर मालिक इसे कर सकता था। अब इंटरनेट पर आप इस विषय के लिए समर्पित कई साइटें आसानी से पा सकते हैं।

लड़ाई और शांति

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, भग्न गुणों वाली प्राकृतिक वस्तुओं में से एक समुद्र तट है। एक दिलचस्प कहानी उसके साथ जुड़ी हुई है, या बल्कि, इसकी लंबाई को मापने के प्रयास के साथ, जिसने मंडेलब्रॉट के वैज्ञानिक लेख का आधार बनाया, और उनकी पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" में भी वर्णित है।

यह एक प्रयोग है जिसका मंचन लुईस रिचर्डसन, एक बहुत ही प्रतिभाशाली और विलक्षण गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और मौसम विज्ञानी द्वारा किया गया था। उनके शोध की दिशाओं में से एक दोनों देशों के बीच एक सशस्त्र संघर्ष के कारणों और संभावना का गणितीय विवरण खोजने का प्रयास था। जिन मापदंडों को उन्होंने ध्यान में रखा, उनमें दो युद्धरत देशों की आम सीमा की लंबाई थी।जब उन्होंने संख्यात्मक प्रयोगों के लिए डेटा एकत्र किया, तो उन्होंने पाया कि विभिन्न स्रोतों में स्पेन और पुर्तगाल के बीच आम सीमा पर डेटा बहुत अलग हैं।

इसने उन्हें निम्नलिखित की खोज करने के लिए प्रेरित किया: किसी देश की सीमाओं की लंबाई उस शासक पर निर्भर करती है जिसके साथ हम उन्हें मापते हैं। पैमाना जितना छोटा होगा, सीमा उतनी ही लंबी होगी। यह इस तथ्य के कारण है कि उच्च आवर्धन के साथ अधिक से अधिक तटीय मोड़ को ध्यान में रखना संभव हो जाता है, जिन्हें पहले माप की खुरदरापन के कारण अनदेखा किया गया था। और अगर, पैमाने में प्रत्येक वृद्धि के साथ, लाइनों के पहले बेहिसाब मोड़ खुलेंगे, तो यह पता चलता है कि सीमाओं की लंबाई अनंत है! सच है, वास्तव में ऐसा नहीं होता है - हमारे माप की सटीकता की एक सीमित सीमा होती है। इस विरोधाभास को रिचर्डसन प्रभाव कहा जाता है।

रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न

सामान्य स्थिति में एक रचनात्मक भग्न के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है। सबसे पहले, हमें दो उपयुक्त ज्यामितीय आकृतियों की आवश्यकता है, आइए उन्हें एक आधार और एक टुकड़ा कहते हैं। पहले चरण में, भविष्य के भग्न का आधार दर्शाया गया है। फिर इसके कुछ हिस्सों को एक उपयुक्त पैमाने पर लिए गए टुकड़े से बदल दिया जाता है - यह निर्माण का पहला पुनरावृत्ति है। फिर, परिणामी आंकड़ा फिर से कुछ हिस्सों को एक टुकड़े के समान आंकड़ों में बदल देता है, और इसी तरह। यदि हम इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हैं, तो सीमा में हमें एक फ्रैक्टल मिलता है।

आइए एक उदाहरण के रूप में कोच वक्र का उपयोग करके इस प्रक्रिया पर विचार करें। कोच वक्र के आधार के रूप में, आप कोई भी वक्र ले सकते हैं ("कोच स्नोफ्लेक" के लिए यह एक त्रिकोण है)। लेकिन हम खुद को सबसे सरल मामले तक सीमित रखेंगे - एक खंड। एक टुकड़ा एक टूटी हुई रेखा है जिसे आकृति में सबसे ऊपर दिखाया गया है। एल्गोरिथ्म के पहले पुनरावृत्ति के बाद, इस मामले में, प्रारंभिक खंड खंड के साथ मेल खाएगा, फिर इसके प्रत्येक घटक खंड को एक खंड के समान एक टूटी हुई रेखा से बदल दिया जाएगा, आदि। आंकड़ा पहले चार चरणों को दिखाता है यह प्रोसेस।

गणित की भाषा में: गतिशील (बीजीय) भग्न

इस प्रकार के भग्न अरैखिक गतिशील प्रणालियों (इसलिए नाम) के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं। ऐसी प्रणाली के व्यवहार को एक जटिल अरैखिक फलन (बहुपद) f (z) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। जटिल तल पर कुछ प्रारंभिक बिंदु z0 लें (साइडबार देखें)। अब जटिल तल पर संख्याओं के ऐसे अनंत अनुक्रम पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक पिछले एक से प्राप्त होता है: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn))

प्रारंभिक बिंदु z0 के आधार पर, ऐसा अनुक्रम अलग तरह से व्यवहार कर सकता है: अनंत की ओर n ->; किसी अंतिम बिंदु पर अभिसरण; चक्रीय रूप से कई निश्चित मान लें; अधिक जटिल विकल्प भी संभव हैं।

जटिल आंकड़े

एक सम्मिश्र संख्या एक संख्या होती है जिसमें दो भाग होते हैं - वास्तविक और काल्पनिक, अर्थात् औपचारिक योग x + iy (यहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं)। मैं तथाकथित है। काल्पनिक इकाई, यानी एक संख्या जो समीकरण i ^ 2 = -1 को संतुष्ट करती है। बुनियादी गणितीय संक्रियाओं को जटिल संख्याओं पर परिभाषित किया जाता है - जोड़, गुणा, भाग, घटाव (केवल तुलना संचालन परिभाषित नहीं है)। जटिल संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए, अक्सर एक ज्यामितीय प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है - विमान पर (इसे जटिल कहा जाता है), वास्तविक भाग एब्सिसा पर रखा जाता है, और काल्पनिक भाग कोर्डिनेट पर रखा जाता है, जबकि जटिल संख्या कार्टेशियन के साथ एक बिंदु के अनुरूप होगी। x और y का समन्वय करता है।

इस प्रकार, फ़ंक्शन f (z) के पुनरावृत्तियों के दौरान जटिल विमान के किसी भी बिंदु z का व्यवहार का अपना चरित्र होता है, और पूरे विमान को भागों में विभाजित किया जाता है। इस मामले में, इन भागों की सीमाओं पर स्थित बिंदुओं में निम्नलिखित गुण होते हैं: मनमाने ढंग से छोटे विस्थापन के लिए, उनके व्यवहार की प्रकृति में तेजी से परिवर्तन होता है (ऐसे बिंदुओं को द्विभाजन बिंदु कहा जाता है)। तो, यह पता चला है कि एक विशिष्ट प्रकार के व्यवहार वाले बिंदुओं के सेट के साथ-साथ द्विभाजन बिंदुओं के सेट में अक्सर फ्रैक्टल गुण होते हैं। ये फंक्शन f (z) के लिए जूलिया सेट हैं।

ड्रेगन का परिवार

आधार और टुकड़े को बदलकर, आप रचनात्मक फ्रैक्टल की एक अद्भुत विविधता प्राप्त कर सकते हैं।

इसके अलावा, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समान संचालन किया जा सकता है। वॉल्यूमेट्रिक फ्रैक्टल के उदाहरण मेन्जर स्पंज, सिएरपिंस्की पिरामिड और अन्य हैं।

ड्रैगन परिवार को रचनात्मक भग्न भी कहा जाता है। कभी-कभी उन्हें "राजमार्ग-हार्टर के ड्रेगन" के खोजकर्ताओं के नाम से बुलाया जाता है (उनके रूप में वे चीनी ड्रेगन के समान होते हैं)। इस वक्र को प्लॉट करने के कई तरीके हैं। उनमें से सबसे सरल और सबसे सहज यह है: आपको कागज की पर्याप्त लंबी पट्टी लेने की जरूरत है (कागज जितना पतला होगा, उतना अच्छा होगा), और इसे आधा में मोड़ो। फिर इसे पहली बार की तरह दो बार फिर से उसी दिशा में मोड़ें।

कई पुनरावृत्तियों के बाद (आमतौर पर पांच या छह सिलवटों के बाद, पट्टी इतनी मोटी हो जाती है कि आगे अच्छी तरह से मुड़ी नहीं जा सकती), आपको पट्टी को पीछे की ओर मोड़ना होगा, और सिलवटों पर 90˚ कोण बनाने का प्रयास करना होगा। फिर प्रोफाइल में ड्रैगन का कर्व निकलेगा। बेशक, यह केवल एक सन्निकटन होगा, जैसे भग्न वस्तुओं को चित्रित करने के हमारे सभी प्रयास। कंप्यूटर आपको इस प्रक्रिया में कई और चरणों को चित्रित करने की अनुमति देता है, और परिणाम एक बहुत ही सुंदर आकृति है।

मैंडलब्रॉट सेट का निर्माण थोड़े अलग तरीके से किया गया है। फलन fc (z) = z ^ 2 + c पर विचार करें, जहां c एक सम्मिश्र संख्या है। आइए हम इस फ़ंक्शन के अनुक्रम को z0 = 0 के साथ बनाते हैं, पैरामीटर c के आधार पर, यह अनंत तक विचलन कर सकता है या बाध्य रह सकता है। इसके अलावा, c के सभी मान जिनके लिए यह क्रम बाध्य है, मैंडेलब्रॉट सेट का निर्माण करता है। मंडेलब्रॉट और अन्य गणितज्ञों ने इसका विस्तार से अध्ययन किया, जिन्होंने इस सेट के कई दिलचस्प गुणों की खोज की।

यह देखा गया है कि जूलिया और मैंडलब्रॉट सेट की परिभाषाएं एक-दूसरे के समान हैं। वास्तव में, ये दो सेट निकट से संबंधित हैं। अर्थात्, मैंडलब्रॉट सेट जटिल पैरामीटर c के सभी मान हैं जिसके लिए जूलिया सेट fc (z) जुड़ा हुआ है (एक सेट को कनेक्टेड कहा जाता है यदि इसे कुछ अतिरिक्त शर्तों के साथ दो अलग-अलग भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है)।

भग्न और जीवन

आज, मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में फ्रैक्टल के सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अनुसंधान के लिए विशुद्ध रूप से वैज्ञानिक वस्तु और पहले से ही उल्लेखित फ्रैक्टल पेंटिंग के अलावा, ग्राफिक डेटा को संपीड़ित करने के लिए सूचना सिद्धांत में फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है (यहां फ्रैक्टल की आत्म-समानता संपत्ति का मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है - आखिरकार, एक छोटे से टुकड़े को याद रखने के लिए एक ड्राइंग और ट्रांसफॉर्मेशन जिसके साथ आप बाकी हिस्सों को प्राप्त कर सकते हैं, पूरी फाइल को स्टोर करने की तुलना में बहुत कम मेमोरी की आवश्यकता होती है)।

फ्रैक्टल को परिभाषित करने वाले फ़ार्मुलों में यादृच्छिक गड़बड़ी जोड़कर, कोई स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल प्राप्त कर सकता है जो कुछ वास्तविक वस्तुओं - राहत तत्वों, जल निकायों की सतह, कुछ पौधों को व्यक्त करता है, जो भौतिकी, भूगोल और कंप्यूटर ग्राफिक्स में सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है ताकि अधिक से अधिक हासिल किया जा सके। नकली वस्तुओं की वास्तविक के साथ समानता। इलेक्ट्रॉनिक्स में, एंटेना का उत्पादन किया जाता है जिसमें फ्रैक्टल आकार होता है। कम जगह लेते हुए, वे काफी उच्च गुणवत्ता वाले सिग्नल रिसेप्शन प्रदान करते हैं।

अर्थशास्त्री मुद्रा दर घटता (मैंडेलब्रॉट द्वारा खोजी गई संपत्ति) का वर्णन करने के लिए फ्रैक्टल का उपयोग करते हैं। यह भग्नों की आश्चर्यजनक रूप से सुंदर और विविध दुनिया में इस छोटे से भ्रमण का समापन करता है।